兰姆-葛罗米柯条件？线性代数问题

本文目录

• 兰姆-葛罗米柯条件
• 线性代数问题
• 什么是兰姆达运算
• 物理中的光子和量子到底是个什么东西
• 二阶常系数非齐次线性微分方程通解的求法 兰姆得是怎么确定的
• 给定线性变换关于给定基的矩阵,如何求线性变换的特征值与特征子空间

兰姆-葛罗米柯条件

为质量力有势。根据查询道客巴巴官网流体力学中得知，葛罗米柯运动微分方程只有在质量力是有势的条件下才能积分。流体力学是分支物理学关注的是力学的流体（液体、气体和等离子体）和力量在他们身上。广泛的学科中有应用，包括机械、土木、化学和生物医学工程、地球物理学、海洋学、气象学、天体物理学和生物学。

线性代数问题

这是一个4元齐次线性方程组。齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于0。Δ=| 3 4 -5 7|| 2 -3 3 -2|| 4 11 -13 16|| 7 -2 1 3|=0所以该方程组有非零解。以(1)、(2)、(3)、(4)表示各个方程，注意到(1)+2*(2)=(4)，说明(4)是冗余的。因此去掉(4)，并将x4改为自由变量t（t属于R），原方程组变为：3X1+4X2-5X3=-7t2X1-3X2+3X3=2t4X1+11X2-13X3=-16t用兰姆塔法则求得以下方程租的解(x1,x2,x3)：（请自己算一下）3X1+4X2-5X3=-72X1-3X2+3X3=24X1+11X2-13X3=-16原4元齐次线性方程组的通解为(x1*t,x2*t,x3*t,t)。

什么是兰姆达运算

希尔伯特第十问题要求寻找判定丢番图方程是否有解的算法。 但究竟什么是算法呢？ 在当时却没有一个明确的定义。 这是研究希尔伯特第十问题所遇到的第一个困难。 这一困难使得希尔伯特第十问题在提出后整整三十年没有取得任何实质进展。 对算法的研究直到二十世纪三十年代起才逐渐深入起来。 什么是算法呢？ 粗略地讲， 算法是 (通过有限多的步骤) 对数学函数进行有效计算的方法。 或者反过来说， 如果一个数学问题能够通过可以有效计算的数学函数得到答案， 那么我们就说这个数学问题存在算法。 因此算法研究的一个重要的切入点便是寻找可以有效计算的函数。 到底什么样的函数是可以有效计算的呢？ 一开始数学家们并没有普遍的结论， 只知道一些最简单的函数， 以及用这些函数通过若干简单规则组合出的函数是可以有效计算的。 数学家们把这类函数叫做递归函数 (Recursive Function)。 1931 年， 年轻的法国数学家赫尔布兰德 (Jacques Herbrand, 1908-1931) 对递归函数进行了研究， 并给著名逻辑学家哥德尔 (Kurt Gödel, 1906-1978) 写信叙述了自己的研究结果。 但哥德尔当时正处于自己一生最重大的成果 - 哥德尔不完全性定理 - 的研究时期， 没有立即对赫尔布兰德的工作做出回应。 那一年的夏天， 年仅二十三岁的赫尔布兰德在攀登阿尔卑斯山时不幸遇难， 他的工作因此被暂时埋没了起来。 与赫尔布兰德的研究差不多同时， 在二十世纪三十年代初的时侯， 普林斯顿大学的美国逻辑学家丘奇 (Alonzo Church, 1903-1995) 也在积极从事逻辑及算法的研究， 并且发展出了一种新的逻辑体系。 他让自己的两位学生 - 克林 (Stephen Kleene, 1909-1994) 与罗瑟 (John Rosser, 1907-1989) 对这一体系做细致的研究。 他的这两位学生都是第一流的好手， 克林更是后来自己也成为了第一流的逻辑学家， 他们的研究很快就有了结果， 但这结果却大大出乎丘奇的意料。 他们发现丘奇的那套体系竟然是自相矛盾的！ 自相矛盾的逻辑体系只能有一个命运， 那就是被放弃。 但幸运的是， 丘奇的那套体系中有一个组成部分仍然是自洽的， 因此可以保留下来， 这一部分叫做兰姆达运算 (λ-calculus)。

物理中的光子和量子到底是个什么东西

「光子」（photon）这个字是由化学家吉伯特．路易斯於 1926 年,也是自 1905 年爱因斯坦发现光电效应的解释后约五分之一世纪,首先用来称呼爱因斯坦所提出的电磁波量子化现象中的粒子. 但是「光子」观念的诞生应该回溯到 19 世纪中,当时,黑体辐射（blackbody radiation）正引起物理学家高度的注意.从铁器时代开始,铁匠就已经知道把金属加热到足够高的温度时,会发出可见光,在较低的温度会发出较暗且偏红的光,在较高的温度会发出较亮且偏蓝的光,由金属发光的亮暗和颜色,就可以判断铁的温度是否适当,是否可以打了. 在 19 世纪中,物理学家对热力学和电磁学已有足够的了解,他们知道,高温的金属之所以会发光,是由於金属上的电荷因处於高温状态而激烈运动,因而发出可见光波段的电磁波,并把这种因为温度造成物体所发出的电磁波称为黑体辐射.在 1850 年代末期,热力学和电磁学大师克希何夫（G.R. Kirchhoff）对上述现象感到兴趣,并开始研究黑体辐射问题. 他考虑一个处在某一固定温度由某种材质所制作的表面上有一小孔的中空容器,并推论如果小孔面积远小於这容器的内壁面积,由这个小孔离开容器的电磁辐射就相当於黑体辐射.其在各个电磁波段能量的比重（即频谱）,和中空容器的材质与容器的形状都没有关系,唯一对电磁波频谱造成影响的只有温度,很遗憾的,他并无法得到频谱的温度函数.在那之后,如何由理论或实验得到频谱的温度函数,就成为物理学家们的一大挑战. 在此后的 40 年里,物理学家做了许多精确的实验,也提出了各种不同的模型和理论来解释实验结果.在这些研究里,史提芬发现黑体辐射的能量密度和温度的 4 次方成正比,并且在稍后由波兹曼以纯热力学的方式得到证明.1893 年怀恩更以之推导而得到一个频谱的温度函数,但是这个函数并不是确定的形式,因为函数里有一个未知项. 黑体辐射频谱最终的正确形式是由蒲朗克（Max Planck）所发现.在 1900 年 10 月的某天早上,蒲朗克的同事到他的家里拜访,并带来前一天由实验所量得黑体辐射的温度函数.蒲朗克推论既然黑体辐射的频谱函数与中空容器的材质和形状无关,那他可以任意假设这个中空容器就是一个长方体的金属盒.长方体内可存在的电磁波,早已在电磁学里被研究透彻,而同时由热力学知道,温度会造成电荷激烈运动并因而发出电磁波,而这些发出来的电磁波,也必须符合长方体内可存在的电磁波模式. 到此为止,他所作的假设和计算与莱理（Rayleigh）之前失败的计算完全相同,所以他也应该得到与莱理所算出,在中空容器里的电磁波能量是无限大,一样的错误结论. 但是蒲朗克在作进一步计算前,作了一个空前的猜想（他自己称为「快乐的猜想」）,就是长方体内每一个可存在的电磁波模式,只有某个常数（就是后来所称的蒲朗克常数,h）乘以该电磁波频率整数倍的能量（即每一个电磁波模式的能量 E = nhf,n 是一正整数或零,f 是该电磁波的频率）,可以和长方体的内壁作用.当他作了这个假设后,他计算得到黑体辐射频谱与温度的关系式（称为辐射定律 Radiation Law）,和他才从他同事那里得到的实验数据完全符合. 这个以后称为辐射定律的结果,成功地解决了 40 年前克希何夫所设下的挑战.虽说如此成功,但蒲朗克并不了解他所作的假设,具有更深层的物理意义.他之后承认,「……这纯粹只是一个假设,我真的没想到再多给它一点思考.」 19 世纪末,有另一个著名但无法解释的实验——光电效应实验.赫兹和李纳德发现当有光照在金属板上时,可以量到电流（即某些电子被光照射后,可以得到足够的动能,克服两金属板间的电位能差,由一金属板飞到另一金属板,形成电流）,而没有光时,就量不到电流. 但令当时所有的科学家都感到困惑的是以下几个观察到的结果.第一是增加照射光强度,只能增加电流,却无法增加电子的动能.第二是不管多强的红光都无法产生光电流.第三是即使用非常弱的紫光去照射,也可以产生光电流,而所激发出来的电子动能也比用强的蓝光激发出的电子的动能大. 1905 年,爱因斯坦把蒲朗克所提出的理论,加以一个更深的物理意义,认为光就是一个一个独立的粒子,而每个光量子的能量就是光的频率乘以蒲朗克常数. 他认为电磁波能量必须是整数个能量包,那麼由光量子所激发出来的电子的能量应该和电磁波的照度无关,只和电磁波的频率有关.严格地说,激射出来的电子的动能应该等於电磁波一个能量包的能量,减掉电子脱离金属所需的能量（称为金属的功函数）.如果我们增加电磁波的照度,增加的只是发射出的电子数目和因此而增加的电流,和电子的动能没有关系.以这样的解释,就可以完全理解光电效应实验为什麼会有那样的结果. 当爱因斯坦提出这个电磁波的量子化观念时,尤其是对於爱因斯坦所喜爱的光的粒子说,许多科学家都抱持著怀疑的态度.其中以蒲朗克的态度最为有趣,虽然他本人是电磁波能量量子化的始作俑者,也无法完全接受光的粒子说,在他的观念里,「我们应该把量子理论的问题转化成物质能量和电磁波之间的交互作用.」 事实上,这是「半古典方法」（semiclassical approach）最原始的想法,也就是把电磁波以古典的方式处理,其振幅可以是连续的,并不需要把它当成粒子,而只有物质的能量态是量子化的.电磁波可以传给物质的能量大小,就是这个物质量子态之间的能量差. 即使到现在,半古典方法仍然有它的一席之地.除了某些物理问题,如兰姆偏移（Lamb shift）、光子纠缠对等,需要以全量子化法处理外,也就是把电磁波看成粒子,且物质的能量态也是量子化,大部分的问题以半古典方法就可以解决了.目前仍有很多的教科书,就以半古典方法来计算光电效应. 在 1912 年,由爱因斯坦所提出的光电效应解释的推论,首先被理察生以实验观察到,之后密立根完整地完成实验,并据以得到精确的蒲朗克常数.在 1922 年,康普敦则以X射线散射电子的实验,进一步证实光的粒子性,在这个实验里,他甚至还观察到光的粒子带有动量.但是光的粒子到底是什麼,还是一个大问题. 如果说光是粒子,是爱因斯坦所说的如同电子一样的「奇异点」,那我们又要如何解释杨氏干涉实验里,光子在走了不同的距离后,仍然可以和自己干涉的现象.爱因斯坦自己也没有答案,在他的晚年,他写到：「在 50 年理性的思考里,并没给我任何答案可以回答这个问题：什麼是光的量子?当然现在每个人都以为他知道这个答案,但是我告诉你,他们是在愚弄自己.」 然而,电磁波具有粒子和波动两种看似矛盾性质的问题,并没有阻碍爱因斯坦思考更多关於光的量子性质.爱因斯坦在花了许多精力研究广义相对论后,1916年他回过头来,重新思考蒲朗克的辐射定律. 现在以量子电动力学,我们可以很容易地得到蒲朗克的辐射定律,但在 1916 年时,甚至连量子电动力学的前身－量子力学都还没出现.但凭著对热力学的深刻理解,爱因斯坦推导出关於原子在不同能阶间跃迁速率的爱因斯坦 A、B 系数.在当时,由原子光谱实验已经知道,原子在跃迁时分成两种,对应到暗线光谱的,是原子吸收光子由能量低的状态跃迁到能量高的状态,而对应到亮线光谱的,是原子由能量高的状态跃迁到能量低的状态并发射出光子,但这两种情形发生的速率关系并没有人知道. 爱因斯坦假设物质与周遭的电磁辐射达到热平衡,而物质在平衡状态,按照统计力学,其在不同能阶状态的原子个数,会由马克士威尔－波兹曼分布函数决定. 由此,爱因斯坦得到要能达到热平衡,则原子在跃迁时必须分成三种类型：自发辐射－即在高能阶状态的原子会自然地落到低能阶状态,并发出一个光子；受激吸收－即在低能阶状态的原子会吸收一个光子而跳到高能阶状态；以及最后一种也是最令人意外的一种,受激辐射－即在高能阶状态的原子会受到其他光子的激发而落到低能阶状态,同时发出一个光子.因为受激辐射的存在,使得 40 年后科学家得以成功地发明雷射,这是后话.爱因斯坦并得到这三种不同原子跃迁类型发生速率的比值. 在 1927 年,狄拉克成功地把电磁波用全量子化来处理,之后狄拉克和其他的物理学家更把这个理论发展完备,成为量子电动力学.这个理论的确成功地超越了光的粒子和波的二重性,解决了半古典方法所不能解决的问题,同时也发现在没有任何电磁波的真空中,有导因於真空电磁扰动的「零点能量」（zero point energy）.而且,原本无法理解自发辐射会自然发生的原因,也获得了解答.就是可以把自发辐射当作是受激辐射的一种,而激发其发生的光子就是来自真空电磁扰动. 但是,量子电动力学并不能告诉我们,光子到底在哪里.和电子不一样的地方在於,电子的位置在量子力学里有一个位置算符,但对於光子而言,并没有一个相对应的光子位置算符.爱因斯坦认为光子是如同电子一样的奇异点,并没有在量子电动力学中完全得到背书. 之后有更多的证据支持电磁波的全量子化,其中最有名的就是 1947 年所观察到的兰姆偏移.兰姆在实验里观察到原子光谱 2s1/2 和 2p1/2 两个轨域有很小的能量差异,但是根据相对论量子力学,这两个状态应该有相同的能量.但一年后,量子电动力学就成功地解释了兰姆偏移,这是因为真空扰动的能量会使电子偏移其原来的轨域,而 s 轨域较接近带正电的原子核,所以受到较 p 轨域更大的影响,因此这两者会有细微的能量差. 即使量子电动力学解决了许多半古典方法不能解决的问题,但是仍然有物理学家怀疑,不需要把电磁波量子化,只要修正半古典方法仍然可以得到完备的理论.这个修正就是把原子跃迁后所产生的电磁波加到原来的电磁波上,和原子作交互作用.事实上,以这种方法确实可以解释自发辐射,但是兰姆偏移却自始至终都没有办法用修正后的半古典方法解释. 直到现在,许多科学家仍在研究光子.这其中,纠缠光子对、多光子干涉,量子拍频、远距量子传输、量子通讯等都是其中热门的研究题目,而且量子电动力学的理论就已经足够用来解释这些结果.但是我们仍然对这两个问题－什麼是光子?光子在哪里?没有答案.也许在 1926 年,当路易斯在命名「光子」时,他并没有预料到「光子」到了下一个世纪,仍然保持著谜样的身分. 1900～1926年是量子力学的酝酿时期,此时的量子力学是半经典半量子的学说,称为旧量子论,开始于德国物理学家普朗克对黑体辐射的研究.黑体辐射是1900年经典物理（牛顿力学、麦克斯韦电动力学、热力学与统计物理）所无法解决的几个难题之一.旧理论导出的黑体辐射谱会产生发散困难,与实验不符.普朗克于是提出“能量子”概念,认为黑体由大量振子组成,每个振子的能量是振子频率的整数倍,这样导出的黑体辐射谱与实验完全符合.“能量子”是新的概念,它表明微观系统的能量有可能是间隔的、跳跃式的,这与经典物理完全不同,普朗克因此就这样吹响了新的物理征程的号角,这成为近代物理的开端之一.1905年,爱因斯坦把普朗克的“能量子”概念又向前推进了一步,认为辐射能量本来就是一份一份的,非独振子所致,每一份都有一个物质承担者——光量子,从而成功地解释了光电效应.爱因斯坦本人在几年后又比较成功地把量子论用到固体比热问题中去.1912年,丹麦青年玻尔根据普朗克的量子论、爱因斯坦的光子学说以及卢瑟福的原子行星式结构模型,成功地导出了氢原子光谱线位置所满足的公式,从这以后掀起了研究量子论的热潮.1924年,法国贵族青年德布洛意根据光的波粒二象性理论、相对论及玻尔理论,推断认为一般实物粒子也应具有波动性,提出了物质波的概念,经爱因斯坦褒扬及实验验证,直接导致了1926年奥地利学者薛定谔发明了量子力学的波动方程.与此同时,受玻尔对应原理和并协原理影响的德国青年海森堡提出了与薛定谔波动力学等价但形式不同的矩阵力学,也能成功地解释原子光谱问题.矩阵力学和波动力学统称量子力学,量子力学就这样正式诞生.量子力学与经典力学对物质的描述有根本区别.量子力学认为“粒子轨道”概念是没有意义的,因为我们不可能同时确定一个粒子的动量和位置,我们能知道的就是粒子在空间出现的几率.量子力学用波函数和算符化的力学量取代过去的轨道和速度等概念,将不可对易代数引进了物理.量子力学还第一次把复数引入了进来. 过去物理中引入复数只是一个为了方便的技巧,并无实质意义,但在量子力学中,虚数具有基本的物理意义,正如英国物理学家狄拉克在70年代所说的：“……这个复相位是极其重要的,因为它是所有涉现象的根源,而它的物理意义是隐含难解的……正是由于它隐藏得如此巧妙,人们才没有能更早地建立量子力学.”可见复数第一次在量子力学中产生了不可被替代的物理意义.这个狄拉克在20年代后半期把当时薛定谔的非相对论性波动方程推广到相对论情形,第一次实现了量子力学和相对论的联姻.狄拉克所建立的方程是描述电子等一大类自旋为半整数的粒子的相对论性波动方程.由于组成现实世界的物质是自旋都为 1/2 的电子、质子和中子,所以狄拉克方程显然特别重要.狄拉克方程能自然地预言电子的自旋为1/2 ,解释氢原子的精细结构,又预言存在正电子.不久,安德森就找到了正电子.狄拉克方程成为量子力学最有名的方程之一.这个狄拉克还将电磁场量子化,从理论上证实了1905年爱因斯坦的光子学说的最重要观点——光是由光子组成的.作为一个体系,量子力学的建立大致在20世纪20年代末完成,此后量子力学就被应用到实际问题中去了. 量子力学的基础和应用 对于许多人来说,也许量子力学比相对论更为有用.后者一般用于研究基本粒子的产生和相互转化以及大尺度的时空结构,但对于20世纪人类的生产生活,原子层次的世界显得更为重要.30年代,量子力学用于固体物理,建立了凝聚态物理学,又用于分子物理,建立了量子化学.在此之上,材料科学、激光技术、超导物理等学科蓬勃发展,为深刻影响20世纪人们生活方式的计算机技术、信息技术、能源技术的发展打下了基础.在20世纪上半期,量子力学深入到微观世界,发展了原子核结构与动力学理论,提出了关于原子核结构的壳层模型和集体模型,研究了原子核的主要反应如α、β、γ嬗变过程.在天体物理中,必须要用到量子力学.对于那些密度很大的天体,如白矮星、中子星,当核燃料耗尽时,恒星的引力将使它坍缩,高密度天体的的费米温度很高,比恒星实际温度高得多,白矮星的电子气兼并压和中子星的中子兼并压抗衡了引力,此时量子力学效应对于星体的形成起了决定性的作用.对于黑洞,其附近的狄拉克真空正负能级会发生交错,因此有些负能粒子将可能通过隧道效应穿透禁区成为正能粒子,飞向远方.黑洞的量子力学效应很有意义,值得研究. 尽管量子力学取得了巨大成功,但是由于相对于牛顿力学而言,量子力学与常识的决裂更为彻底,因此对于量子力学的基础仍旧存在着许多争论,正如玻尔所说：“谁不为量子力学震惊,谁就不懂量子力学.”爱因斯坦和玻尔在20世纪上半期关于量子力学是否自恰与完备展开了大讨论,引发了一系列关于量子力学基础的工作,如隐变量理论、贝尔定理、薛定谔猫态实验等,这些工作使得我们看到理解量子力学的艰难. 量子力学的应用,一方面让我们感觉到现实世界丰富多彩的离奇特性,另一方面反过来也促进我们对量子力学基础的理解.20世纪下半期,量子力学在基础和应用研究上又焕发出了青春.对超导本质、真空的卡西米尔效应、分数与整数量子霍尔效应、A-B效应和几何相因子、玻色－爱因斯坦凝聚和原子激光等的研究,极大地丰富了人们对物理世界的认识,而对这些效应和技术的研究,必将对21世纪的科学进步产生深远意义的影响.量子力学向纵深发展量子力学是单粒子的运动理论,在高能情形下,粒子会产生、湮灭,涉及到多粒子,因而需把量子力学发展成为量子场论,第一个用于研究相互作用的量子场论是量子电动力学.量子电动力学研究电子与光子的量子碰撞,它是在三四十年代从研究氢原子的超精细结构-兰姆移动及电子反常磁矩的基础上建立起来的.由费曼等人发展起来的路径积分量子化方法是研究相互作用场量子化的得力工具,运用它,散射矩阵和反应截面的计算成为可能.量子场论是个空框架,必须引入相互作用,才能描述相互作用粒子的产生和转化、研究其本质,这就是规范场论的任务.量子场论和规范场论是量子力学向纵深发展的结果.量子电动力学具有U(1)群（一种可交换的内部对称群）的定域规范对称性.把带电粒子波函数的定域相位变化一下,同时电磁势作相应的变换,发现为了保持理论具有这种变换的不变性,必须引入带电粒子与电磁场（一种规范场）的耦合项.当时在微观世界,除了电磁力外,还有控制核子聚在一起的强力和控制原子核衰变的弱力,这些相互作用满足怎样的动力学方程,需要有一个第一性原理来解决. 1954年,杨振宁和米尔斯把定域规范不变的理论推广到内部对称的不可交换群,引入非阿贝尔规范场.杨－米尔斯的理论决定了相互作用的基本形式,成为理论物理中继相对论罗伦兹变换之后的最重要的变换形式.洛伦兹变换是时空变换,规范变换是内部空间变换,它们分别从外部和内部决定物质运动和相互作用的形式.六七十年代的工作,包括1964年发现真空对称性自发破缺使规范场得到质量的黑格斯机制,1967年法捷耶夫和波波夫用路径积分量子化方法首次得到正确的规范场量子化方案,1971年特·胡夫特等人证明了规范场理论的可重整性,并提出了一种切实可计算的维数正规化方案,以上工作使得量子规范理论成为成熟的理论. 在规范场论和粒子物理实验、基本粒子结构（三代轻子和三代夸克）研究的基础上,六七十年代还提出了特殊的规范场论——弱电统一理论和量子色动力学.由于在1979年找到了传递色（强）力作用的胶子存在的证据,在1984年发现了存在传递弱相互作用的中间玻色子W±和Z0 ,所以我们深信：描述弱相互作用和电磁相互作用的统一理论是SU(2)×U(1) 规范场模型, 描述强相互作用的理论是SU(3) 规范场模型.这两个模型统称标准模型.物理学家已在1995年找到了它们所预言的最重的夸克（顶夸克）的存在证据,所预言的最后一个基本粒子（τ 子型中微子）也已在2000年找到.特·胡夫特等的工作也被授予1999年诺贝尔物理学奖.标准模型取得的一再成功使得它成为目前公认最好的关于物质结构、物质运动和相互作用的理论. 量子力学和量子场论使得人类对真空的性质也有了更为本质的看法.过去真空被认为是空无一物的,自从狄拉克提出真空是“负能粒子的海洋”之后,真空就被看作是粒子之源了.真空具有许多效应,如反映真空具有零点能量的卡西米尔效应、真空极化导致氢光谱兰姆移动（氢原子的超精细结构）、激态原子与零点真空作用导致原子自发辐射等.真空作为量子场的基态,具有普适的对称性.60年代,南部和歌德斯通发现量子场论真空会发生自发对称破缺,70年代玻利亚可夫等发现真空的拓扑结构.目前已能对真空可以进行局域性的操作,真空上升到研究相互作用主体的地位. 总 结 具有整整一百年历史的量子力学对于20世纪的科学技术具有革命性的影响.正是因为其影响深远,所以在这世纪之交,其带给我们的悬而未决的谜也就更多更难.李政道认为20世纪末期存在如下的物理之谜：夸克幽禁、暗物质、对称破缺、真空性质等.此外,解决诸如质量起源、电荷本质、量子引力、基本粒子世代重复之谜等也必将引发新的物理学进展.为了探索物质世界的深刻本质,大统一理论、超对称、超引力、超弦理论等也在发展之中.它们或许就是新的革命的前奏.尽管不知道能否再发生象量子力学诞生那样的革命,但是未来的100年绝对是让物理学家忙碌的100年,而这些新概念、新理论、新技术对未来人类的观念和生活的巨大影响,恐还不能处于目前我们的掌控之中.

二阶常系数非齐次线性微分方程通解的求法 兰姆得是怎么确定的

兰姆就是非齐次方程所对应的七次方程的解，又称特征根，其实就是把非齐次项去掉之后解一个二次方程，很简单的，高中就学过

给定线性变换关于给定基的矩阵,如何求线性变换的特征值与特征子空间

求特征值的方法：解方程|兰姆达E-A|=0，它的解，即为特征值。再求每个特征值下的特征向量，对于每个特征值，所求出来的一组线性无关特征向量构成一组基，则在此基下的所有向量集合，即构成了一个特征子空间