一元二次方程因式分解法定义(什么叫因式分解法解一元二次方程)
本文目录
- 什么叫因式分解法解一元二次方程
- 详细解释一元二次方程的解法
- 一元二次方程因式分解法的概念讲解!跪求!
- 什么是一元二次方程
- 举例说明什么叫一元二次方程因式分解法
- 一元二次方程的分解因式法的概念讲解
- 什么是因式分解法解一元二次方程
- 分解因式 解一元二次方程
什么叫因式分解法解一元二次方程
把一元二次方程因式分解为两个线性方程,根据zero product property, 任何一个因子等于零,都满足一元二次方程的解。由此,解一元二次方程变成解两个线性方程等于零,从而得到一元二次方程的解。
详细解释一元二次方程的解法
一元二次方程的解法有如下几种:
第一种:运用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二次项系数为1的和二次项系数不为1,但又不是0的),(2)公式法:(包括完全平方公式,平方差公式,).(3)提取公因式
例1:X^2-4X+3=0
本题运用因式分解法中的十字相乘法,原方程分解为(X-3)(X-1)=0 ,可得出X=3或1。
例2:X^2-8X+16=0
本题运用因式分解法中的完全平方公式,原方程分解为(X-4)^2=0 可以得出X1=4 X2=4(注意:碰到此类问题,一定要写X1=X2=某个数,不能只写X=某个数,因为一元二次方程一定有两个根,两个根可以相同,也可以不同)
例3:X^2-9=0
本题运用因式分解法中的平方差公式,原方程分解为(X-3)(X+3)=0 ,可以得出X1=3,X2=-3。
例4:X^2-5X=0
本题运用因式分解法中的提取公因式法来解,原方程分解为X(X-5)=0 ,可以得出X1=0 ,X2=5
第二种方法是配方法,比较复杂,下面举一个例来说明怎样用配方法来解一元二次方程:
X^2+2X-3=0
第一步:先在X^2+2X后加一项常数项,使之能成为一项完全平方式,那么根据题目,我们可以得知应该加一个1这样就变成了(X+1)^2。
第二步:原式是X^2+2X-3,而(X+1)^2=X^2+2X+1,两个葵花子对比之后发现要在常数项后面减去4,才会等于原式,所以最后用配方法后得到的式子为(X+1)^2-4=0,最后可解方程。
还有一种方法就是开平方法,例如:X^2=121,那么X1=11,X2=-11。
最后如果用了上面所有的方法都无法解方程,那就只能像楼上所说的用求根公式了。
定理就是韦达定理,还有根的判别式,韦达定理就是一元二方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)二根之和就是-b/a,两根之积就是c/a
举例:X^2-4X+3=0 两根之和就是-(-4/1)=4,两根之积就是3/1=3,(你可以自己解一下,看看是否正确)。
因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让
两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程:
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学)
(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
(3)解:6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 •2 ,∴此题可用因式分解法)
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结:
一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般
形式,同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式
法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程
是否有解。
配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。
例5.用适当的方法解下列方程。(选学)
(1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0
(3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析:(1)首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算。观察后发现,方程左边可用平方差
公式分解因式,化成两个一次因式的乘积。
(2)可用十字相乘法将方程左边因式分解。
(3)化成一般形式后利用公式法解。
(4)把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解。
(1)解:4(x+2)2-9(x-3)2=0
=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
(2)解: x2+(2- )x+ -3=0
(x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3,x2=1
(3)解:x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4》0
∴x=
∴x1=,x2=
(4)解:4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学)
分析:此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我
们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方
法)
解:=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7.用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0
解:x2+px+q=0可变形为
x2+px=-q (常数项移到方程右边)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
(x+)2= (配方)
当p2-4q≥0时,≥0(必须对p2-4q进行分类讨论)
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
当p2-4q《0时,《0此时原方程无实根。
说明:本题是含有字母系数的方程,题目中对p, q没有附加条件,因此在解题过程中应随时注意对字母
取值的要求,必要时进行分类讨论。
练习:
(一)用适当的方法解下列方程:
1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0
5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
(二)解下列关于x的方程
1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0
练习参考答案:
(一)1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6.解:(把2x+3看作一个整体,将方程左边分解因式)
=0
即 (2x+9)(2x+2)=0
∴2x+9=0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
(二)1.解:x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解:x2-(+ )ax+ a• a=0
=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
∴x1= +b,x2= -b是 ∴x1= a,x2=a是
原方程的解。 原方程的解。
测试
选择题
1.方程x(x-5)=5(x-5)的根是( )
A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5
2.多项式a2+4a-10的值等于11,则a的值为( )。
A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7
3.若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数,一次项系数和常数项之和等于零,那么方程必有一个
根是( )。
A、0 B、1 C、-1 D、±1
4. 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为( )。
A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0
C、b=0且c=0 D、c=0
5. 方程x2-3x=10的两个根是( )。
A、-2,5 B、2,-5 C、2,5 D、-2,-5
6. 方程x2-3x+3=0的解是( )。
A、 B、 C、 D、无实根
7. 方程2x2-0.15=0的解是( )。
A、x= B、x=-
C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-
8. 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( )。
A、(x-)2= B、(x- )2=-
C、(x- )2= D、以上答案都不对
9. 已知一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解该方程配方后的方程是( )。
A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1
答案与解析
答案:1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
解析:
1.分析:移项得:(x-5)2=0,则x1=x2=5,
注意:方程两边不要轻易除以一个整式,另外一元二次方程有实数根,一定是两个。
2.分析:依题意得:a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.
3.分析:依题意:有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时, ax2+bx+c=a+b+c,意味着当x=1
时,方程成立,则必有根为x=1。
4.分析:一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零,
则ax2+bx+c必存在因式x,则有且仅有c=0时,存在公因式x,所以 c=0.
另外,还可以将x=0代入,得c=0,更简单!
5.分析:原方程变为 x2-3x-10=0,
则(x-5)(x+2)=0
x-5=0 或x+2=0
x1=5, x2=-2.
6.分析:Δ=9-4×3=-3《0,则原方程无实根。
7.分析:2x2=0.15
x2=
x=±
注意根式的化简,并注意直接开平方时,不要丢根。
8.分析:两边乘以3得:x2-3x-12=0,然后按照一次项系数配方,x2-3x+(-)2=12+(- )2,
整理为:(x-)2=
方程可以利用等式性质变形,并且 x2-bx配方时,配方项为一次项系数-b的一半的平方。
9.分析:x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1
则(x-1)2=m+1.
中考解析
考题评析
1.(甘肃省)方程的根是( )
(A) (B) (C) 或 (D) 或
评析:因一元二次方程有两个根,所以用排除法,排除A、B选项,再用验证法在C、D选项中选出正确
选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元
二次方程是两个根,所以是错误的,而选项D中x=-1,不能使方程左右相等,所以也是错误的。正确选项为
C。
另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式,使得方程丢根,这种错误要避免。
2.(吉林省)一元二次方程的根是__________。
评析:思路,根据方程的特点运用因式分解法,或公式法求解即可。
3.(辽宁省)方程的根为( )
(A)0 (B)–1 (C)0,–1 (D)0,1
评析:思路:因方程为一元二次方程,所以有两个实根,用排除法和验证法可选出正确选项为C,而A、
B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。
4.(河南省)已知x的二次方程的一个根是–2,那么k=__________。
评析:k=4.将x=-2代入到原方程中去,构造成关于k的一元二次方程,然后求解。
5.(西安市)用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为( )
(A)x=3+2 (B)x=3-2
(C)x1=3+2 ,x2=3-2 (D)x1=3+2,x2=3-2
评析:用解方程的方法直接求解即可,也可不计算,利用一元二次方程有解,则必有两解及8的平方
根,即可选出答案。
一元二次方程因式分解法的概念讲解!跪求!
因式分解就是把一个一元二次方程分解成两个多项式相加。可以解一部分的方程
解法也有所不同
十字相乘法:
举个例子2x方-5x-3=0,把二次项系数和常数项提出来,即“2“和“-3“
2可以拆成1乘2, -3可以拆成1乘-3
1 -3 交叉相成即(1×1)、(2×-3)之后的和等于一次项系数即“-5“
2 1
这样就分解成了(x-3)(2x+1)=0
解的x1=3,x2=-1/2
平方差公式:
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
比如x^2-4=0,4可以看成2×2
分解成(x+2)(x-2)=0
解得x1=x2=±2 (这类方程用直接开方法会更简单。。还是打上了)
提公因式法
a^2+ab=0 提取公因式a
a(a+b)=0 解得a=0或a=-b
比如x^2+2x=0 提取x
x(x+2)=0 解得x=0或x=-2
还有一类方程就是一个完全平方公式
比如x^2+4x+4=0 x^2+4x+4=(x+2)^2
所以原式为(x+2)^2=0
解得x1=x2=-2
应该能理解了吧。。祝你学习进步~~~~
什么是一元二次方程
一元二次方程的定义:含有一个未知数,未知数的次数最高为2的整式方程叫做一元二次方程。
例如x^2-3x+1=0,但要注意方程要化简之后满足上述条件才行,比如x^2-3x=x^2+1,就不是一元二次方程。
二元一次方程的定义:含有两个未知数,未知项的次数为1的整式方程,例如2x-3y=1。
举例说明什么叫一元二次方程因式分解法
数学中用以求解高次一元方程的一种方法。把方程的一侧的数(包括未知数),通过移动使其值化成0,把方程的另一侧各项化成若干因式的乘积,然后分别令各因式等于0而求出其解的方法叫因式分解法。
把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式。因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上,又有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法,长除法,除法等。
方法一.
提公因式法
x2-x=0
x(x-1)=0
x1=0
x2=1
方法二.
公式法
x2+4x+4=0
(x+2)^2=0
x1=x2=-2
方法三.十字相乘法
x2+3x-4=0
(x-1)(x+4)=0
x1=1
x2=-4
一元二次方程的分解因式法的概念讲解
你好!
因式分解法就是通过因式分解将一元二次方程化成
(ax+b)(cx+d)=0的形式【注意方程右边一定是0!!】
从而得出 x = - b/a 或 x = - d/c
而因式分解又有提公因式、公式法、十字相乘法等。
下面举例说明。
例1:x² + 2x = 0
解:显然,提公因式即可分解
x(x+2)=0
∴x₁=0,x₂= -2
例2:4x² - 9 = 0
解:平方差公式分解
(2x+3)(2x-3)=0
∴x₁ = -3/2 ,x₂ = 3/2
例4:x²-6x+9=0
解:完全平方公式分解
(x - 3)² = 0
x₁=x₂ = 3
例5:x² -x - 2 = 0
解:十字相乘法分解
x 1
x -2
(x+1)(x-2) = 0
x₁ = -1,x= 2
其中十字相乘法应用最为广泛,但要掌握需要多加练习。
纯手打,希望对你有帮助o(∩_∩)o
什么是因式分解法解一元二次方程
因式分解法
一般形式为ax²+a(b+c)x+abc=0(a≠0)
符合这一规律的方程才可以用因式分解法
可以变为a(x+b)(x+c)=0,变为(x+b)(x+c)=0
所以解得x1=-b,x2=-c
若符合一般形式为ax²+2bx+b²=0(a≠0)的方程为特殊因式分解方程
a(x+b)(x+b)=0,即(x+b)²=0.∴x1=x2=-b
(以上左边到右边去a是因为0除以除0以外任何数都为0)
望采纳
分解因式 解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程步骤:将方程右边化为0;将方程左边分解为两个一次式的积;令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程;解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。
因式分解法解一元二次方程的步骤
能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点:方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次因式的积;
用分解因式法解一元二次方程的理论依据:两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0;
用分解因式法解一元二次方程的注意点:①必须将方程的右边化为0;②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式。
因式分解主要有十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式,轮换对称多项式法,余式定理法等方法,求根公因式分解没有普遍适用的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上,又有拆项和添减项法式法,换元法,长除法,短除法,除法等。
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