对数的发明讲解？纳皮尔几何定义的对数怎么证

本文目录

• 对数的发明讲解
• 纳皮尔几何定义的对数怎么证
• 如何理解「对数」
• 为什么规定对数的底数a大于零且不等于1
• 对数函数是谁发明的
• 对数对人类文明进步的贡献

对数的发明讲解

延长天文学家寿命的发现——纳皮尔发现对数自古以来，人们的日常生活和所从事的许多领域，都离不开数值计算，并且随着人类社会的进步，对计算的速度和精确程度的需要愈来愈高，这就促进了计算技术的不断发展。印度阿拉伯记数法、十进小数和对数是文艺复兴时期计算技术的三大发明，它们是近代数学得以产生和发展的重要条件。其中对数的发现，曾被18世纪法国大数学家、天文学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”。对数思想的萌芽对数的基本思想可以追溯到古希腊时代。早在公元前500年，阿基米德就研究过几个10的连乘积与10的个数之间的关系，用现在的表达形式来说，就是研究了这样两个数列：1，10，102，103，104，105，……；0，1，2，3，4，5，…… 他发现了它们之间有某种对应关系。利用这种对应可以用第二个数列的加减关系来代替第一个数列的乘除关系。阿基米德虽然发现了这一规律，但他却没有把这项工作继续下去，失去了对数破土而出的机会。 2000年后，一位德国数学家对对数的产生作出了实质性贡献，他就是史蒂非。1514年，史蒂非重新研究了阿基米德的发现，他写出两个数列：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11……；1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048…… 他发现，上一排数之间的加、减运算结果与下一排数之间的乘、除运算结果有一种对应关系，例如，上一排中的两个数2、5之和为7，下一排对应的两个数4、32之积128正好就是2的7次方。实际上，用后来的话说，下一列数以2为底的对数就是上一列数，并且史蒂非还知道，下一列数的乘法、除法运算，可以转化为上一列数的加法、减法运算。例如，23×25＝23＋5，等等。 就在史蒂非悉心研究这一发现的时候，他遇到了困难。由于当时指数概念尚未完善，分数指数还没有认识，面对像17×63，1025÷33等情况就感到束手无策了。在这种情况下，史蒂非无法继续深入研究下去，只好停止了这一工作。但他的发现为对数的产生奠定了基础。纳皮尔的功绩15、16世纪，天文学得到了较快的发展。为了计算星球的轨道和研究星球之间的位置关系，需要对很多的数据进行乘、除、乘方和开方运算。由于数字太大，为了得到一个结果，常常需要运算几个月的时间。繁难的计算苦恼着科学家，能否找到一种简便的计算方法？数学家们在探索、在思考。如果能用简单的加减运算来代替复杂的乘除运算那就太好了！这一梦想终于被英国数学家纳皮尔实现了。 纳皮尔于1550年生于苏格兰的爱丁堡。他家是苏格兰的贵族，他13岁入圣安德卢斯大学学习，后来留学欧洲，1571年回到家乡。纳皮尔是一位地主，他曾在自己的田地里进行肥料施肥试验，研究过饲料的配合，还设计制造过抽水机。他的兴趣十分广泛，一方面热衷于政治和宗教斗争，一方面投身于数学研究。他在球面三角学的研究中有一系列突出的成果。纳皮尔研究对数的最初目的，就是为了简化天文问题的球面三角的计算，他也是受了等比数列的项和等差数列的项之间的对应关系的启发。纳皮尔在两组数中建立了这样一种对应关系：当第一组数按等差数列增加时，第二组数按等比数列减少。于是，后一组数中每两个数之间的乘积关系与前一组数中对应的两个数的和，建立起了一种简单的关系，从而可以将乘法归结为加法运算。在此基础上，纳皮尔借助运动概念与连续的几何量的结合继续研究。 纳皮尔画了两条线段，设AB是一条定线段，CD是给定的射线，令点P从A出发，沿AB变速运动，速度跟它与B的距离成比例地递减。同时，令点Q从C出发，沿CD作匀速运动，速度等于P出发时的值，纳皮尔发现此时P、Q运动距离有种对应关系，他就把可变动的距离CQ称为距离PB的对数。纳皮尔 纳皮尔的棋盘计算器 纳皮尔骨算筹 当时，还没有完善的指数概念，也没有指数符号，因而实际上也没有“底”的概念，他把对数称为人造的数。对数这个词是纳皮尔创造的，原意为“比的数”。 他研究对数用了20多年时间，1614年，他出版了名为《奇妙的对数定理说明书》的著作，发表了他关于对数的讨论，并包含了一个正弦对数表。 有趣的是同一时刻瑞士的一个钟表匠比尔吉也独立发现了对数，他用了8年时间编出了世界上最早的对数表，但他长期不发表它。直到1620年，在开普勒的恳求下才发表出来，这时纳皮尔的对数已闻名全欧洲了。对数的完善纳皮尔的对数著作引起了广泛的注意，伦敦的一位数学家布里格斯于1616年专程到爱丁堡看望纳皮尔，建议把对数作一些改进，使1的对数为0，10的对数为1等等，这样计算起来更简便，也将更为有用。次年纳皮尔去世，布里格斯独立完成了这一改进，就产生了使用至今的常用对数。1617年，布里格斯发表了第一张常用对数表。1620年，哥莱斯哈姆学院教授甘特试作了对数尺。 当时，人们并没有把对数定义为幂指数，直到17世纪末才有人认识到对数可以这样来定义。1742年，威廉斯把对数定义为指数并进行系统叙述。现在人们定义对数时，都借助于指数，并由指数的运算法则推导出对数运算法则。可在数学发展史上，对数的发现却早于指数，这是数学史上的珍闻。 解析几何与微积分出现以后，人们在研究曲线下的面积时，发现了面积与对数的联系。比如，圣文森特的格雷果里在研究双曲线xy＝1下的面积时，发现面积函数很像一个对数，后来他的学生沙拉萨第一个把面积解释为对数。但当时并没有认识到对数和双曲线下面积之间的确切关系，更没有认识到自然对数就是以e为底的对数。 后来，牛顿也研究过此类问题。欧拉在1748年引入了以a为底的x的对数logax这一表示形式，以作为满足ay=x的指数y。并对指数函数和对数函数作了深入研究。而复变函数的建立，使人们对对数有了更彻底的了解。天文学家的欣喜对数的出现引起了很大的反响，不到一个世纪，几乎传遍世界，成为不可缺少的计算工具。其简便算法，对当时的世界贸易和天文学中大量繁难计算的简化，起了重要作用，尤其是天文学家几乎是以狂喜的心情来接受这一发现的。1648年，波兰传教士穆尼阁把对数传到中国。在计算机出现以前，对数是十分重要的简便计算技术，曾得到广泛的应用。对数计算尺几乎成了工程技术人员、科研工作者离不了的计算工具。直到20世纪发明了计算机后，对数的作用才为之所替代。但是，经过几代数学家的耕耘，对数的意义不再仅仅是一种计算技术，而且找到了它与许多数学领域之间千丝万缕的联系，对数作为数学的一个基础内容，表现出极其广泛的应用。 1971年，尼加拉瓜发行了一套邮票，尊崇世界上“十个最重要的数学公式”。每张邮票以显著位置标出一个公式并配以例证，其反面还用西班牙文对公式的重要性作简短说明。有一张邮票是显示纳皮尔发现的对数。 对数、解析几何和微积分被公认是17世纪数学的三大重要成就，恩格斯赞誉它们是“最重要的数学方法”。伽利略甚至说：“给我空间、时间及对数，我即可创造一个宇宙。”

纳皮尔几何定义的对数怎么证

纳皮尔研究对数的最初目的，就是为了简化天文问题的球面三角的计算，他也是受了等比数列的项和等差数列的项之间的对应关系的启发。纳皮尔在两组数中建立了这样一种对应关系：当第一组数按等差数列增加时，第二组数按等比数列减少。于是，后一组数中每两个数之间的乘积关系与前一组数中对应的两个数的和，建立起了一种简单的关系，从而可以将乘法归结为加法运算。在此基础上，纳皮尔借助运动概念与连续的几何量的结合继续研究。纳皮尔画了两条线段，设AB是一条定线段，CD是给定的射线，令点P从A出发，沿AB变速运动，速度跟它与B的距离成比例地递减。同时，令点Q从C出发，沿CD作匀速运动，速度等于P出发时的值，纳皮尔发现此时P、Q运动距离有种对应关系，他就把可变动的距离CQ称为距离PB的对数。当时，还没有完善的指数概念，也没有指数符号，因而实际上也没有“底”的概念，他把对数称为人造的数。对数这个词是纳皮尔创造的，原意为“比的数”。他研究对数用了20多年时间，1614年，他出版了名为《奇妙的对数定理说明书》的著作，发表了他关于对数的讨论，并包含了一个正弦对数表。

如何理解「对数」

对数是苏格兰数学家纳皮尔在做天文研究是发现的一种乘法开方的逆算法，这一重大的发明，让许多数学研究家欣喜若狂，因为它解决了算术上的一个大难题。对数的形式有log和ln，形式的下标是乘数，上标是最终得数，等值的数是次方数，在我们现在看来这只不过是很简单的数学计算，而它的出现却能够给当时的各界行业的人带来震撼和喜悦，可见它的意义重大。其实对数的本质和基本的算术乘法和开方有直接关系，这是算数的三种表现形式，因此理解对数的含义，也需要从这三个形式的关系分析入手。

1、对数简便了连乘的手写工序。最开始写算术乘法我们都是一个一个的乘，比如5*5*5，简短的几个不麻烦书写，也不会出现写漏和多写的情况，但乘得越来越多就会出现这些问题，因此将一串很长的算术整合成一个式子可以缩减书写量和提高正确率，运用次方就可以写成5^3,它的等值是125，写成对数形式就成了log5 125=3。

2、对数也能显示在图像上。乘法5*5*5只能代表一个算是，5^3也同样只是一个算式，改变任何数值也不能只能改变结果，本质上是一个算式，而化成对数，便能够在平面直角坐标系中画出图像，成为了具有数学意义的一条曲线，这可能就是纳皮尔欣喜若狂的原因把。

3、对数节省劳力，延长了天文学家的寿命。这是出自于拉普拉斯对于纳皮尔发现对数的评价，对于天文学家以及其他领域的专家来说，对数的发现让他们不再一个数字一个数字的书写算式，能够一个算式表示，而且还有图像作为支撑。

为什么规定对数的底数a大于零且不等于1

底数a》0且不等于1，因为当a《0时，当x=1/2时，a^x没有意义，而当a=1时，y的值永远等于1，没有研究价值，综上规定a》0且不等于1。对数函数是指数函数的反函数，它的底a就是指数函数的底a，所以当然也是大于0且不等于1。

分析不加限制可能出现的“混乱局面”：

1、若a＜0，则对于x的某些数值，可使ax无意义．如(－2)x，当x＝1/2,1/4，等等，在实数范围内函数无意义。

2、若a＝0，则当x＞0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义。

3、若a＝1，则对于任何x∈R，ax是一个常量1，没有研究的必要性。

为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1，这样对于任何x∈R，ax都有意义。

底数，数学术语，指幂（x=n^m）中的n，或者对数（x=logaN）中的 a（a》0且a≠1）。

比如9=3²中，底数为3；2=log39中，底数为3。

对于数列{ ( 1 + 1/n )^n }，当n趋于正无穷时该数列所取得的极限就是e，即e = lim (1+1/n)^n。

数e的某些性质使得它作为对数系统的底时有特殊的便利。以e为底的对数称为自然对数。用不标出底的记号ln来表示它；在理论的研究中，总是用自然对数。

自然底数的来源：

历史上误称自然对数为纳皮尔对数，取名于对数的发明者——苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier A.D.16-17)。纳皮尔本人并不曾有过对数系统的底的概念，但他的对数相当于底数接近1/e的对数。与他同时代的比尔吉(J.Burgi)则创底数接近e的对数。

对数函数是谁发明的

对数函数的历史： 16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，於是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。 德国的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。 欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。 纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方 法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为 纳皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为 Nap．㏒x=107㏑(107/x) 由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。 瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。 英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。 1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。 对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，正如科学家伽利略（1564-1642）说：「给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙」。又如十八世纪数学家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。 最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫「真数」，0.3010叫做「假数」，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用 「假数」为「对数」。 我国清代的数学家戴煦（1805-1860）发展了多种的求对数的捷法，著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等。1854年，英国的数学家艾约瑟（1825-1905） 看到这些著作后，大为叹服。 当今中学数学教科书是先讲「指数」，后以反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年 ，J．威廉（1675-1749）在给G．威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小 分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数，和现在教科书中的提法一致。赞同0| 评论采纳哦

对数对人类文明进步的贡献

对数是苏格兰数学家纳皮尔（John Napier，1550～1617）发明的。他从1594年到1614年整整花了20年时间造出了第一个对数表，使对数似乎毫无征兆地突然降临人间。但从纳皮尔本人的说法就可以知道，这实际上是当时天文、航海及工程实践中对简化大量繁杂计算的迫切需要所促成的。由于对数不仅能将乘除转化为加减，也能将乘方、开方转化为乘除，一下子把人们从繁复的计算中解放出来，无异于成倍地延长了科学家与工程技术人员的寿命。正因为如此，在科学发展的历史中，极少有哪个抽象的数学概念，能像对数一样，一开始就获得了整个科学界的热烈欢迎。对数的发明，无疑是人类认识史上的一个极大的飞跃和革命，在人类文明的进程中起了石破天惊的作用。恩格斯就曾经将对数与解析几何及微积分这三者并列，称之为“最重要的数学方法”，并指出：对于将乘除转化为加减的“这种从一个形态到另一个相反的形态的转变，并不是一种无聊的游戏，它是数学科学的最有力的杠杆之一。如果没有它，今天就没法去进行一个较为复杂的计算。”自纳皮尔1614年发明对数以来，在长达350年左右的时间内，根据对数的原理所设计的一些计算仪器（其中包括曾广泛使用的计算尺），一直是科学家和工程师的忠实伴侣。但自20世纪70年代初期袖珍计算器上市起，功能强大的现代计算器不断出现，对数用于简化计算的功能已完成了历史使命。对数在计算中无可替代的地位也就一去不复返。但对数的概念及对数函数的种种性质，不仅没有退出历史舞台，相反，在现代数学和其他科学领域中的作用却有增无减，一直占据着重要的位置。噪声的度量、恒星亮度的确定、地震等级的划分、乐曲音度的标示、溶液酸碱度的测定等等，这些人类对很多外界刺激的感知，往往用的是对数的尺度。火箭速度的计算公式以及数学中种种重要的表达式，同样离不开对数。对数从计算的有力工具向科学的重要方法的转化，在数学的发展史中留下了浓墨重彩的篇章，记录着人类社会不断发展进步的光辉历程。这一人类文明的瑰宝，值得大家认真学习和深刻领悟。