拉普拉斯变换（什么是拉普拉斯变换）

本文目录

• 什么是拉普拉斯变换
• 拉普拉斯变换的物理意义是什么
• 拉普拉斯变换性质是什么
• 常见函数拉普拉斯变换
• 拉普拉斯变换性质
• 什么是拉普拉斯变换其主要应用是什么
• 开刷：《信号与系统》 Lec #21 第二部分 拉普拉斯变换性质
• 拉普拉斯变换的性质
• 拉氏变换主要性质
• 拉普拉斯延迟定理证明

什么是拉普拉斯变换

拉普拉斯变换 拉普拉斯变换（英文：Laplace Transform)，是工程数学中常用的一种积分变换。如果定义： f(t),是一个关于t,的函数，使得当t《0,时候，f(t)=0,； s, 是一个复变量； mathcal 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分int_0^infty e^ ,dt；F(s),是f(t),的拉普拉斯变换结果。 则f(t),的拉普拉斯变换由下列式子给出： F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt 拉普拉斯逆变换，是已知F(s),，求解f(t),的过程。用符号 mathcal ^ ,表示。 拉普拉斯逆变换的公式是： 对于所有的t》0,； f(t) = mathcal ^ left =frac int_ ^ F(s),e^ ,dsc,是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有F(s),的个别点的实部值。为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。 用 f(t)表示实变量t的一个函数，F(s)表示它的拉普拉斯变换，它是复变量s＝σ＋j&owega的一个函数，其中σ和&owega 均为实变数,j2＝-1。F(s)和f(t)间的关系由下面定义的积分所确定： 如果对于实部σ ＞σc的所有s值上述积分均存在，而对σ ≤σc时积分不存在，便称 σc为f(t)的收敛系数。对给定的实变量函数 f(t)，只有当σc为有限值时，其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上,常称F(s)为f(t)的象函数,记为F(s)＝L。 函数变换对和运算变换性质 利用定义积分，很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对，以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。表1和表2分别列出了最常用的一些函数变换对和运算变换性质。

拉普拉斯变换的物理意义是什么

拉普拉斯变换（英文：Laplace Transform)，是工程数学中常用的一种积分变换。

上面的是对拉普拉斯变换的一个简单的解释，详细的说呢拉普拉斯就是工程数学中用到的，它又叫做拉氏变换，拉普拉斯变换一种积分变换，有个线性的变换，在很多的工程中用着很大的用处，对于一些科学方面的研究也是能用到的，他是将一个有参数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。

拉普拉斯变换的物理意义，运用指数上的复数，复化后的温度，推出了热力学还有物理量，都说拉普拉斯没有明确的物理意义,然而说到傅里叶变换的物理意义就是很清晰的，对于这种说法在于个人的一些理解吧，傅里叶变换的物理意义是将通常在时域表示的信号，分解为多个正弦信号的叠加。每个正弦信号用幅度、频率、相位就可以完全表征。傅里叶变换之后的信号通常称为频谱，频谱包括幅度谱和相位谱，分别表示幅度随频率的分布及相位随频率的分布。

对于拉普拉斯变换的物理意义个人的看法感觉每个人的理解可能都是不同的，就像每本书的知识内容都不一样，世界上没有一模一样的写法，学习这个东西就看自己怎么去理解，在学术和研究上运用到这些拉普拉斯变换的话还是需要自己多去读书多去专研学习的，其实把拉普拉斯变换看成是傅里叶变换的也很多，后者的指数上也没有虚数单位，很多东西是需要自己专研分析的。

拉普拉斯变换性质是什么

假定L［f（x）］＝F（s），L［g（x）］＝G（s），则：

（1）线性 af（x）＋bg（x）的拉普拉斯变换是aF（s）＋bG（s）（a，b是常数）。

（2）卷积 f（x）*g（x）的拉普拉斯变换是F（s）·G（s）。

（3）微分 f′（x）的拉普拉斯变换是sF（s）－f（0）。

（4）位移 eatf（x）的拉普拉斯变换是F（s－a）。

简介

如果对于实部σ 》σc的所有s值上述积分均存在，而对σ ≤σc时积分不存在，便称 σc为f(t)的收敛系数。对给定的实变量函数 f(t)，只有当σc为有限值时，其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上，常称F(s)为f(t)的象函数，记为F(s)=L。

函数变换对和运算变换性质 　利用定义积分，很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对，以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。

常见函数拉普拉斯变换

拉普拉斯变换 从本质上说 如果常数的定义是"常数" 则其不存在拉普拉斯变换.如果说该常数定义是 "阶跃信号" 并且定义他阶跃到了a值 则其拉普拉斯变换为 a/s这个东西如何去理解它呢? 拉普拉斯变换最初被用来解决 (输入值) 与(输出值)的相互关系是由 (线形定常微分方程)所描述时 将这种复杂的描述映射到另一种集合中以企图将这种关系用一种类似 (乘法) 的简单关系描述出来. 这种简单的关系表示就是拉普拉斯变换.而后来, 当人们发现拉普拉斯变换具有很好的性质,它的用途被拓宽了.并将拉普拉斯变换的概念抽象,用一种 (收敛)的方式 来描述拉普拉斯变换的过程.并且发现 很多傅氏变换无法 (收敛)起来的函数,用拉普拉斯变换的 (收敛)方式可以将其(变换成功).但是归根结底, 拉普拉斯变换的本质是 一个由 (你们现在通常看到的那些简单的函数)(映射)到一个 (拉普拉斯变换后的函数的集合) . 意味着 如果你给出的东西根本就不是一个(函数), 而是一个纯粹的(常数)的话 , 则它的拉普拉斯变换不存在. 以上是基于 (集合论)的描述 ------------Ew

拉普拉斯变换性质

拉普拉斯变换基本性质：主要有线性性质、微分性质、积分性质、位移性质、延迟性质、初值定理与终值定理等性质。

电路分析实例：

在“电路分析”中，元件的伏安关系可以在复频域中进行表示，即电阻元件：V=RI,电感元件：V=sLI,电容元件：I=sCV。如果用电阻R与电容C串联，并在电容两端引出电压作为输出，那么就可用“分压公式”得出该系统的传递函数为H(s)=(1/RC)/(s+(1/RC))，于是响应的拉普拉斯变换Y（s）就等于激励的拉普拉斯变换X（s）与传递函数H（s）的乘积，即Y(s)=X(s)H(s)

意义与作用：拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换，是为简化计算而建立在实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。

什么是拉普拉斯变换其主要应用是什么

挺重要的，它是用来把时域的函数转换到频域的，而自控里面大部分计算都是频域进行的。至于难不难的问题，那要看楼主要用它来做什么了？如果是学自动控制原理的话，那么我感觉不是很难，就是一个积分而已，而且大部分时候也不用自己去积它，记住公式就行了，用的时候直接套公式就行。我是某民办高校教师，教的就是这方面的课程，个人感觉没学过复变函数和积分变换也没有问题，我的学生们也没学过这些课，一样学自控

开刷：《信号与系统》 Lec #21 第二部分 拉普拉斯变换性质

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。 视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。 p.435 - p.449 若那么注意到，运用线性性质后，收敛域可能不是简单的交集，有可能比交集更大。例如书上例9.13，在这个例子中， 的极点和 零点相抵消，于是 的收敛域被 所界定。ROC不变ROC不变 因此，如果 是一个实函数，那么 。所以我们说实信号的拉普拉斯变换零极点是共轭成对出现的。的收敛域应该包含 和 收敛域的交集。如果相乘过程中出现了零极点相消，那么 的收敛域可能就比它们的交集大。微分信号的拉普拉斯变换的收敛域可能比原始信号的大，是因为 这个乘积中，如果 有 的极点被 抵消，那么 的收敛域就比 大。例如 的收敛域是 ， 的导数为 ，其拉普拉斯变换收敛域为整个s平面。ROC不变。因为时域积分是信号与单位阶跃信号的卷积，即而那么根据1.6卷积性质，卷积后的信号的拉普拉斯变换的收敛域包含两信号拉普拉斯变换收敛域的交集。根据卷积性质，一个LTI系统的输入输出有如下关系，其中 为系统单位冲激响应的拉普拉斯变换，被称为系统函数或转移函数。另外提一句，当 时， 是系统的频率响应。 回忆因果性，当一个LTI系统具有因果性时，其单位冲激响应在 时为0. 因此有如下结论， 上述结论反过来说不一定正确，除非系统函数是有理的。 当且仅当系统函数 的收敛域包括 轴时，即 ，一个LTI系统就是稳定的。 综合因果性和稳定性，有如下结论， 考虑如下形式的线性常系数微分方程，反复利用线性和微分性质，可得，因此，一个由微分方程表征的系统，其系统函数总是有理的，它的零点就是如下方程的解，极点就是如下方程的解，我们发现，上面的系统函数 并没有包含收敛域的说明，这是因为单靠微分方程本身并不能限制收敛域，需要依靠附加条件，例如初始松弛可以得出因果性，稳定性可以推论出收敛域包含 轴。

拉普拉斯变换的性质

假定L［f（x）］＝F（s），L［g（x）］＝G（s），则

（1）线性 af（x）＋bg（x）的拉普拉斯变换是aF（s）＋bG（s）（a，b是常数）；

（2）卷积 f（x）*g（x）的拉普拉斯变换是F（s）·G（s）；

（3）微分 f′（x）的拉普拉斯变换是sF（s）－f（0）；

（4）积分 ∫x₀f（x）dt的拉普拉斯变换是

（5）位移 eatf（x）的拉普拉斯变换是F（s－a）；

（6）时移（延迟） f（x－x₀）的拉普拉斯变换是

［例1］求方程y″＋2y′－3y＝e－t满足初始条件y｜t＝0＝0，y′｜_t＝0＝1的解。

解：设L［y（t）］＝Y（s），对方程的两边取拉氏变换，并考虑到初始条件，则得

地球物理数据处理基础

这是含未知量Y（s）的代数方程，整理后解出Y（s），即

地球物理数据处理基础

这便是所求函数的拉氏变换，取它的逆变换便可以得出所求函数y（t）。

［例2］求解 满足初始条件

解：假定L［y（t）］＝Y（s），L［x（t）］＝X（s），对方程两边取拉氏变换，并考虑到初始条件，则得

地球物理数据处理基础

整理化简，得

地球物理数据处理基础

解这个方程组，即得

地球物理数据处理基础

根据逆变换，我们可得

地球物理数据处理基础

这便是方程组的解。

拉氏变换主要性质

机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。2.5.1 拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间t为自变量的实变函数 ，它的定义域是 ，，那么的的拉普拉斯变换定义为 (2.10) 是复变数， （σ、ω均为实数）， 称为拉普拉斯积分； 是函数 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 为 的象函数，而称 为 的原函数；L是表示进行拉普拉斯变换的符号。式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 。1.单位阶跃函数 的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。单位阶跃函数的拉氏变换式为当 ，则 。所以：（2.11）2.指数函数的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中 是常数。令则与求单位阶跃函数同理，就可求得 （2.12）3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换设，，则由欧拉公式，有所以(2.13）同理 (2.14）4.单位脉冲函数 δ(t) 的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。其幅值和作用时间的乘积等于1，即。如图2.8所示。单位脉冲函数的数学表达式为其拉氏变换式为此处因为时，，故积分限变为。(2.15)2.5.3 拉氏变换的主要定理根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换和反变换，但利用以下的定理，则对一般的函数可以使运算简化。1.叠加定理拉氏变换也服从线性函数的齐次性和叠加性。（1）齐次性 设，则（2.18）式中——常数。（2）叠加性 设,，则（2.19）两者结合起来，就有这说明拉氏变换是线性变换。2.微分定理设则式中——函数在 时刻的值，即初始值。同样，可得的各阶导数的拉氏变换是 （2.20）式中,，…——原函数各阶导数在时刻的值。如果函数及其各阶导数的初始值均为零（称为零初始条件），则各阶导数的拉氏变换为（2.21）3.复微分定理若可以进行拉氏变换，则除了在 的极点以外，（2.22）式中， 。同样有一般地，有（2.23）4.积分定理设 ，则（2.24）式中——积分 在 时刻的值。当初始条件为零时，（2.25）对多重积分是（2.26）当初始条件为零时，则（2.27）5.延迟定理设 ，且 时， ，则（2.28）函数为原函数沿时间轴延迟了，如图2.11所示。6.位移定理在控制理论中，经常遇到 一类的函数，它的象函数只需把 用代替即可，这相当于在复数坐标中，有一位移。设，则（2.29）例如 的象函数，则的象函数为7.初值定理它表明原函数在 时的数值。（2.30）即原函数的初值等于 乘以象函数的终值。8.终值定理设，并且 存在，则（2.31）即原函数的终值等于乘以象函数的初值。 这一定理对于求瞬态响应的稳态值是很有用的。9.卷积定理设，，则有（2.32）即两个原函数的卷积分的拉氏变换等于它们象函数的乘积。式（2.32）中， 为卷积分的数学表示，定义为10.时间比例尺的改变（2.33）式中 ——比例系数例如,的象函数 ,则 的象函数为11.拉氏变换的积分下限在某些情况下,在 处有一个脉冲函数。这时必须明确拉普拉斯积分的下限是 还是 ，因为对于这两种下限， 的拉氏变换是不同的。为此，可采用如下符号予以区分：若在 处 包含一个脉冲函数，则因为在这种情况下显然，如果 在处没有脉冲函数，则有2.5.4 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换的公式为（2.36）式中 ——表示拉普拉斯反变换的符号通常用部分分式展开法将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数 。1. 部分分式展开法在控制理论中，常遇到的象函数是的有理分式为了将 写成部分分式，首先将 的分母因式分解，则有式中， ， ，…， 是的根的负值，称为的极点，按照这些根的性质，可分为以下几种情况来研究。

拉普拉斯延迟定理证明

拉普拉斯延迟定理证明：利用拉普拉斯变换的基本定理，拉普拉斯变换表以及部分分式展开法对常见函数进行拉普拉斯反变换。

相量与正弦量的变换为了计算正弦稳态响应，可将激励源变为相量，然后在频率域里求相量（即相量法），然后再变回时域得到正弦时间函数响应。

拉普拉斯定理

计算降阶行列式的一种方法。该定理断言：在n阶行列式D=|aij| 中，任意取定k行（列），1≤k≤n-1，由这k行（列）的元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式D的值。此展式称为拉普拉斯展式，拉普拉斯定理亦称按k行展开定理。拉普拉斯定理事实上是柯西（Cauchy，A.-L.）于1812年首先证明的。